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来源:《中学数学》2007年第03期  作者:赵秀琴;
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披着“平几”重彩的一道上海春季高考题

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上海市2007年春季高考题第20题:通常用a、b、c分别表示△ABC的三个内角A,B,C所对边的边长,R表示△ABC的外接圆半径.图1(1)如图1,在以O为圆心、半径为2的⊙O中,BC和BA是⊙O的弦,其中BC=2,∠ABC=45,°求弦AB的长;(2)在△ABC中,若∠C是钝角,求证:a2+b2<4R2;(3)给定三个正实数a、b、R,其中b≤a.问:a、b、R满足怎样的关系时,以a、b为边长,R为外接圆半径的△ABC不存在、存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)?在△ABC存在的情况下,用a、b、R表示c.(标准答案见本刊2007年第2期)该题的第(3)小题是个典型的开放型讨论题,命题意图在试卷的评分标准中已经凸现:试图运用正弦定理通过代数不等式来进行讨论·但是,此题的平面几何背景十分明显,若从“数形结合”的数学思想出发,解题会事半功倍·三角形的外接圆或圆的内接三角形如下图所示:图2图3图4图5图6图71.当2R>a>b时,如图2所示,∠A>90°;如图3所示,∠A<90°.2.当2R=a>b时,如图4所示,∠A=90°.3.当2R>a=b时,如图5所示,∠C<90°;如图6(本文共计1页)......[继续阅读本文]

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