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来源:《中学数学》2007年第03期  作者:姜官杨;
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再谈一道初中数学竞赛题的推广

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文[1]将2001年TI杯全国初中数学竞赛第14题在圆锥曲线中进行了推广·本文再将此题进行推广,并将推广后的命题推广到圆锥曲线中去·图11原题及证明原题如图1,已知点P是⊙O外一点,PS、PT是⊙O的切线,过点P作⊙O的割线PAB,交⊙O于A、B两点,与TS交于点C·求证:1PA+1PB=2PC·证法1(平几法)如图1,过点O作OD⊥PB,垂足为D,连结OS,SD,OT,OP·则易证S、D、O、P;S、O、T、P四点分别共圆,所以∠SDP=∠SOP=∠STP=∠PSC,因此,PS是△SDC外接圆的切线,所以PS2=PC·PD=PA·PB·因为OD⊥AB,所以AD=DB,所以PA+PB=PD-AD+PD+DB=2PD·因为2PC·PD=2PA·PB,所以(PA+PB)·PC=2PA·PB,所以1PA=1PB=2PC·证法2(解析法)见文[1]2原题的推广及证明将原题中的两条切线变为圆的两条割线,得到下面的命题:图2命题1如图2,已知点P为⊙O外一点,割线PDE、PFG交⊙O于点D、E,F、G,EF与DG的交点为C,直线PC交⊙O于点A、B·求证:1PA+1PB=2PC·证法1(平几法)如(本文共计2页)......[继续阅读本文]

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