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来源:《中学数学》2007年第03期  作者:柏任俊;
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由一道习题导出椭圆切线的一个重要结论

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在圆锥曲线的复习教学中,有一位同学向我咨询如下问题·题目已知F1、F2为椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的焦点,P为椭圆上一点·求证:点P处的切线PT必平分△PF1F2在P处的外角·在解答此题之后,我们还得到了一个重要的定理·证法1设F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0)·图1对椭圆方程x2/a2+y2/b2=1两边求导得,2xa2+2y·y′2b=0,2xa2y∴y′=-b∴k=kPT=y(′x0,y0)2x=-b0a2y0,又k1=kPF1=y0x0+c,k2=kPF2=y0x0-c,由到角公式知tan∠2=k-k21+kk2=-b2x0a2y0-y0x0-c1-b2x0a2y0·y0x0-c=b2cx0-(b2x20+a2y20)(a2-b2)x0y0-a2cy0=b2cx0-a2b2c2x0y0-a2cy0=b2(cx0-a2)cy0(cx0-a2)=2bcy0,同理tan∠1=k1-k1+k1k=y0x0+c+b2x0a2y01-y0x0+c·b2x0a2y0=b2cy0·∵∠1,∠2∈(0,π),∴∠1=∠2,又∠1=∠4,∴∠2=∠4·证法2设F1(本文共计1页)......[继续阅读本文]

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