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一个重要的组合恒等式

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有一个重要组合恒等式 ,我们经常使用 ,即kCkn=nCk -1n -1.首先来看它的证明 :证一 (公式法 ) :左 =k· n !(n -k) !k !=n (n - 1) !(n -k) !(k - 1) !=nCk -1n -1=右 .证二 (组合分析法 ) :以n名运动员中选出k名队员 ,并选 1人作领队的组队方式数为kCkn,这个代表队也可以换一种方式来组建 ,即先从n名运动员中选出领队 ,有n种选法 ,再从剩下的n - 1名运动员选出k - 1名队员 ,有Ck -1n -1种选法 ,由分步计数原理得nCk -1n -1.下面来看它的应用例 1 求证 :∑nk =1 kCkn=n·2 n -1.证一 :∑nk =1 kCkn=∑nk =1 nCk -1n -1=n·∑nk =0 Ckn -1=n·2 n -1.证二 :也可用组合分析法来证明 ,考虑集合A ={a1,a2 ,… ,an}的所有子集的元素个数之和 :1元子集的元素个数之和为 1C1n,2元子集的元素个数之和为 2C2n,… ,n元子集的元素个数之和为nCnn,总计为∑nk =1 kCkn,而每个ai 在A的子集(本文共计2页)......[继续阅读本文]

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